Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，O為AD中點，AB=1，AD=2，AC=CD=.

（1）證明：直線AB∥平面PCO；

（2）求二面角P－CD－A的余弦值；

（3）在棱PB上是否存在點N，使AN⊥平面PCD，若存在，求線段BN的長度；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據條件AC=CD可得，又AB⊥AD，所以AB∥CO，然后根據線面平行的判定定理可得結論；（2）以O為原點建立空間直角坐標系，求出平面PCD和平面ABCD的法向量，根據兩向量的夾角求解可得所求余弦值；（3）假設存在點N滿足條件，設出點N的坐標，根據直線AN的方向向量和平面PCD的法向量平行可得結論．

（1）因為AC=CD，O為AD中點，

所以．

又AB⊥AD，

所以AB∥CO，

又AB平面PCO，CO平面PCO，

所以AB∥平面PCO．

（2）因為PA=PD，

所以PO⊥AD.

又因為PO平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，

所以PO⊥平面ABCD.

因為CO平面ABCD，

所以PO⊥CO.

因為AC=CD，所以CO⊥AD.

如圖建立空間直角坐標系O－.

則A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，1）.

設平面PCD的法向量為，

則，得'

令z=2，則．

又平面ABCD的法向量為=（0，0，1），

所以.

由圖形得二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．

（3）假設存在點N是棱PB上一點，使得AN⊥平面PCD，

則存在∈[0，1]使得，

因此.

由（2）得平面PCD的法向量為.

因為AN⊥平面PCD，

所以∥，即.

解得=∈[0，1]，

所以存在點N是棱PB上一點，使AN⊥平面PCD，此時=.