Question

若數列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，b₁=b，

an=-2an-1+4bn-1 bn=-5an-1+7bn-1

，（n∈N，n≥2）．請按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來求a_m，b_m的值，其中m為給定的數據（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的

ACD

（請填出全部答案）
A、B、
C、D、

（2）我們可證明當a≠b，5a≠4b時，{a_n-b_n}及{5a_n-4b_n}均為等比數列，請按答紙題要求，完成一個問題證明，并填空．
證明：{a_n-b_n}是等比數列，過程如下：a_n-b_n=（-2a_n-1+4b_n-1）+（5a_n-1-7b_n-1）=3a_n-1-3b_n-1=3（a_n-1-b_n-1）
所以{a_n-b_n}是以a₁-b₁=a-b≠0為首項，以

3

為公比的等比數列；
同理{5a_n-4b_n}是以5a₁-4b₁=5a-4b≠0為首項，以

2

為公比的等比數列
（3）若將a_n，b_n寫成列向量形式，則存在矩陣A，使

an bn

=A

an-1 bn-1

=A(A

an-2 bn-2

)=A2

an-2 bn-2

=…=An-1

a1 b1

，請回答下面問題：
①寫出矩陣A=

-2 4 -5 7

；  ②若矩陣B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ，矩陣C_n=PB_nQ，其中矩陣C_n只有一個元素，且該元素為B_n中所有元素的和，請寫出滿足要求的一組P，Q：

P=

1   1

，Q=

1 1

； ③矩陣C_n中的唯一元素是

2ⁿ⁺²-4

．
計算過程如下：

Answer 1

分析：（1）根據數列{a_n}，{b_n}中的遞推關系可知只有B選項不正確，從而得出正確答案；
（2）結合證明過程，根據等比數列的定義知：答案為：3，2；
（3）由于矩陣B_n中所有元素的和等于A，A²，A³，…Aⁿ中所有元素的和的和，于是可先求Aⁿ中四個元素之和．
解法一：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，利用問題（2），得出

an+1=(5×2n-4×3n)a+(4×3n-4×2n)b bn+1=(5×2n-5×3n)a+(5×3n-4×2n)b

從而有：Aⁿ中元素之和為2×2ⁿ，最后B_n中所有元素的和即得；
解法二：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，可知當a₁=b₁=1時，Aⁿ中元素之和就等于a_n+1+b_n+1，于是由問題（2）可知當a=b=1時a_n-b_n=3（a_n-1-b_n-1）=…=0，即a_n=b_n，于是由a_n=-2a_n-1+4b_n-1=2a_n-1⇒a_n=2^n-1，即得；
解法三：注意到AQ=

-2 4 -5 7

1 1

=

2 2

=2Q，于是AnQ=An-1(AQ)=A^n-1所以PAnQ=P(2n

1 1

)=2n

1&1

1 1

=2n+1于是C_n=2²+2³+…2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4．

解答：解：（1）根據數列{a_n}，{b_n}中的遞推關系可知只有B選項不正確，答案：ACD …（3分）
（2）結合證明過程，根據等比數列的定義知：答案為：
        3    2
（3）答案：A=

-2 4 -5 7

，一組P，Q的值可以為P=

1   1

，Q=

1 1

（滿足P=

1 a & 1 a

，Q=

a a

形式即可） 矩陣C_n中唯一元素為2ⁿ⁺²-4．
解：由于矩陣B_n中所有元素的和等于A，A²，A³，…Aⁿ中所有元素的和的和，于是可先求Aⁿ中四個元素之和．
（填空，可利用能進行矩陣運算的計算器大概兩分鐘可得出A，A²，A³，A⁴，計算和分別為4，8，16，32歸納得出Aⁿ中元素之和為4×2^n-1，但Aⁿ的通項很難歸納得出）
解法一：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，利用問題（2），得出

an-bn=(a-b)3n-1 5an-4bn=(5a-4b)2n-1

⇒

an=(5×2n-1-4×3n-1)a+(4×3n-1-4×2n-1)b bn=(5×2n-1-5×3n-1)a+(5×3n-1-4×2n-1)b

于是

an+1=(5×2n-4×3n)a+(4×3n-4×2n)b bn+1=(5×2n-5×3n)a+(5×3n-4×2n)b

所以An=

5×2n-4×3n 4×3n-4×2n 5×2n-5×3n 5×3n-4×2n

，Aⁿ中元素之和為2×2ⁿ，
從而B_n中所有元素的和為2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4．
解法二：由

an bn

=An-1

a1 b1

⇒

an+1 bn+1

=An

a1 b1

，可知當a₁=b₁=1時，Aⁿ中元素之和就等于a_n+1+b_n+1，于是由問題（2）可知當a=b=1時a_n-b_n=3（a_n-1-b_n-1）=…=0，即a_n=b_n，于是由a_n=-2a_n-1+4b_n-1=2a_n-1⇒a_n=2^n-1，
所以a_n+1+b_n+1=2a_n+1=2×2ⁿ，即Aⁿ的元素之和為2ⁿ⁺¹，從而B_n中所有元素的和為2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4．
解法三：注意到AQ=

-2 4 -5 7

1 1

=

2 2

=2Q，
于是AnQ=An-1(AQ)=A^n-1
所以PAnQ=P(2n

1 1

)=2n

1&1

1 1

=2n+1
于是C_n=2²+2³+…2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺²-4
（注：解法三不具有通用性，本題中恰好AQ=2Q，于是運算可進行下去．）
故答案為：ACD；2，3；

-2 4 -5 7

，P=

1   1