Question

對于數列{u_n}若存在常數M＞0，對任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M則稱數列{u_n}為B-數列。
（1）首項為1，公比為的等比數列是否為B-數列？請說明理由；
（2）設S_n是數列{x_n}的前n項和，給出下列兩組判斷：
A組：①數列{x_n}是B-數列；②數列{x_n}不是B-數列
B組：③數列{S_n}是B-數列；④數列{S_n}不是B-數列
請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結論；
（3）若數列{a_n}是B-數列，證明：數列{a_n²}也是B-數列。

Answer 1

解：（1）設滿足題設的等比數列為
則
于是
|-|+|-|+…+|-|
=
=3×＜3
所以首項為1，公比為的等比數列是B-數列。
（2）命題1：若數列{}是B-數列，則數列{S_n}是B-數列
此命題為假命題
事實上設=1，n∈N，
易知數列{}是B-數列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n
由n的任意性知，數列{S_n}不是B-數列。
命題2：若數列{S_n}是B-數列，則數列{}是B-數列。
此命題為真命題。
事實上，因為數列{S_n}是B-數列，
所以存在正數M，對任意的n∈N，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M
即
于是

所以數列是數列。
（3）數列是數列，則存在正數M，對任意的有

因為
 
設，則有

因此
故數列是數列。