Question

對于數列{u_n}若存在常數M＞0，對任意的n∈N⁺，恒有|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n1|+…+|u₂-u₁|≤M則稱數列u_n為B^-數列
（1）首項為1，公比為-

1

2

的等比數列是否為B-數列？請說明理由；
（2）設s_n是數列{x_n}的前n項和，給出下列兩組判斷：
A組：①數列{x_n}是B-數列．      ②數列{x_n}不是B-數列．
B組  ③數列{s_n}是B-數列．      ④數列{s_n}不是B-數列
請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結論；
（3）若數列{a_n}是B^-數列，證明：數列{a_n²}也是B^-數列．

Answer 1

分析：（1）根據B-數列的定義，首項為1，公比為q=

1

2

的等比數列，驗證|u_n+1-u_n|+|u_n-u_n-1|+…+|u₂-u₁|≤M即可；
（2）首項寫出兩個命題，根據B-數列的定義加以證明，如果要說明一個命題不正確，則只需舉一反例即可；
（3）數列{a_n}都是B-數列，則有|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M₁下面只需驗證|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤M．

解答：解：（1）設滿足題設的等比數列為a_n，
則an=(-

1

2

)n-1．
于是|an-an-1|  =|(-

1

2

)n-1-(-

1

2

)n-2|=

3

2

×(

1

2

)n-2n≥2
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|
=

3

2

×[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]
=3×[1-(

1

2

)n] ＜3，所以首項為1，公比為-

1

2

的等比數列是B-數列．
（2）命題1：若數列x_n是B-數列，
則數列S_n是B-數列．此命題為假命題．
事實上設x_n=1（n∈N^*），易知數列x_n是B-數列，但S_n=n，
|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|=n．
由n的任意性知，數列S_n不是B-數列．
命題2：若數列S_n是B-數列，
則數列x_n不是B-數列．此命題為真命題．
事實上，因為數列S_n是B-數列，
所以存在正數M，對任意的n∈N^*，
有|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M，
即|x_n+1|+|x_n|+…+|x₂|≤M．
于是|x_n+1-x_n|+|x_n-x_n-1|+…+|x₂-x₁|≤|x_n+1|+2|x_n|+2|x_n-1|+…+2|x₂|+|x₁|≤2M+|x₁|，
所以數列x_n是B-數列．
（3）若數列是{a_n}B-數列，則存在正數M，對任意的n∈N^*有
|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M
因為|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1-a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤M+|a₁|
記K=M+|a₁|，則有|a_n+1²-a_n²|=|（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
≤（|a_n+1|+|a_n|）|a_n+1-a_n|≤2K|a_n+1-a_n|
因此|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2KM
故數列{a_n²}是B-數列．

點評：考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（2）（3）的設置，增加了題目的難度，同時也考查了等差數列的定義和分類討論的思想，屬難題．