Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=b2經過橢圓 （0＜b＜2）的焦點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設直線l：y=kx+m交橢圓E于P，Q兩點，T為弦PQ的中點，M（﹣1，0），N（1，0），記直線TM，TN的斜率分別為k1 ， k2 ， 當2m2﹣2k2=1時，求k1k2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因0＜b＜2，所以橢圓E的焦點在x軸上，

又圓O：x2+y2=b2經過橢圓E的焦點，所以橢圓的半焦距c=b，

所以2b2=4，即b2=2，所以橢圓E的方程為

（2）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），

聯立 ，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，

所以 ，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2= ，

所以 ， ，

則

【解析】（1）橢圓E的焦點在x軸上，圓O：x2+y2=b2經過橢圓E的焦點，所以橢圓的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出橢圓E的方程；（2）求出T的坐標，利用斜率公式，結合條件，即可求k1k2的值．