Question

【題目】已知函數，，.

（1）當時，求的單調區間；

（2）設，若，為函數的兩個不同極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求出原函數的導函數，可得時，若，，單調遞增；若，求出導函數的零點，根據導函數與0的關系可得原函數的單調性；（2）根據導數先得在R上單調遞增，原題轉化為證，根據和進一步轉化為證，再由，得到證明 ，設，，化為證明，設，利用導數證明即可．

解：（1），

若，，，單調遞增.

若，由，解得，

且，，單調遞減，

，，單調遞增.

綜上，當時，的單調遞增區間為，

當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2），

故在上單調遞增，即證：，

也即證：，

又 ，

，

所以，為方程的兩根，

即

即證，即，

而①-②得，

即證：，

不妨設，，

則證：變形得，

所以，，

設，

則，

∴在單調遞增，

，

即結論成立.