Question

已知A、B、C、D是球面上四點，若AB=AC=

2

，BD=DC=CB=2，二面角A-BC-D的平面角等于150°，則該球的表面積為（　　）

• A．

  22π

  3

• B．

  28π

  3

• C．7π
• D．9π

Answer 1

分析：由題設知四面體ABCD中，AB=AC=

2

，BD=DC=CB=2，設等邊△BDC的外接圓的圓心為E，BC中點為H，球心為O，設球半徑為r，則由題設條件能夠推導出r2=BE2+EO2=

4

3

+y2，且r2=

25

12

+(

1

2

-y)2，由此解得y=1，從而求出r，由此能夠求出球的表面積．

解答：解：由題設知四面體ABCD中，AB=AC=

2

，BD=DC=CB=2，
如圖，設等邊△BDC的外接圓的圓心為E，BC中點為H，球心為O，設球半徑為r，
則Rt△OEB中，∠OEB=90°，
∵BD=DC=CB=2，AB=AC=

2

，
∴∠AHE是二面角A-BC-D的平面角，故∠AHE=150°，
DE=

2

3

DH=

2

3

×

4-1

=

2 3

3

，HE=

1

3

DH=

3

3

，
∴r2=BE2+EO2=

4

3

+y2，…①
作AI⊥DH，交DH延長線與I，則AH=1，HE=

3

3

，OA=r，∠AHT=180°-∠AHE=30°，
∴AI=

1

2

，IE=IH+HE=

3

2

+

3

3

=

5 3

6

，
∴r2=

25

12

+(

1

2

-y)2，…②
由①②得y2+

4

3

=y2-y+

7

3

，解得y=1，
∴r=

4 3 +y2

=

21

3

，
∴球的表面積S=4π(

21

3

)2=

28π

3

．
故選B．

點評：本題考查球的表面積的求法，具體涉及到錐錐的結構特征、二面角的平面角、余弦定理、三角形性質、球的簡單性質等知識點，解題時要認真審題，注意合理地化空間幾何問題為平面幾何問題．