Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，∠BAC≠60°，過點B、C分別作△ABC外接圓的切線BD、CE，且滿足，直線DE與AB、AC的延長線分別交于點F、G、CF與BD交于點M，CE與BG交于點N.證明：.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖所示，設兩條切線BD與CE交于點K，則BK=CK.

結合BD=CE，知.

作∠BAC的平分線AL與BC交于點L，聯結LM、LN.

由，知

∠ABC=∠DFB，∠FDB＝∠DBC=∠BAC.

故.

再結合，BD=BC及內角平分線定理可得

.

因此，.

同理，.

由此推出

∠ALM=180°-∠BAL=180°-∠CAL=∠ALN.

由及內角平分線定理得：

.

故由AL=AL，∠ALM=∠ALN，LM=LN，得

.

從而，AM=AN.

證法2 由BD與EC均為△ABC外接圓的切線，知

∠DBC=∠BAC=∠ECB.

由BD=CE，得四邊形BCED為等腰梯形.

從而，.

又∠BFD＝∠ABC，∠FDB=∠DBC=∠BAC，

故.

設△ABC的三條邊長分別為.

由

.

由.

故由，得

. ①

在△ABM中，由∠ABM=∠ABC+∠BAC，及余弦定理得

. ②

用同樣方法計算CN和時，只需在上述BM和的表達式①、②中將b、c交換.

而由式②知的表達式關于b、c對稱，故

.