Question

【題目】已知函數有兩個不同的零點，.

（1）求a的范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）分類討論參數的范圍，利用導數得出單調性，結合函數的零點個數，得出的范圍；

（2）不妨設，由（1）可知，，結合函數的單調性，得出等價于，即，構造函數，，求出，即可得出結論.

（1）

當時，；

在上單調遞減，在上單調遞增，

，且當x→﹣∞時，f（x）→+∞，當x→+∞時，f（x）→+∞，

則函數有兩個不同的零點，，

當時，或；

在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

結合可知，此時函數只有一個零點

當時，或；

在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

結合，可知，此時函數只有一個零點，

當a＝0時，f（x）＝xex只有一個零點x＝0，不合題意；

綜上，.

（2）不妨設，由（1）可知，

在上單調遞減

等價于，即

由于，而

則

設，，則

則函數在上單調遞減，

即，從而