Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面ABC，是邊長為2的正三角形，，E，F分別為BC，的中點．

1求證：平面平面；

2求三棱錐的體積；

3在線段上是否存在一點M，使直線MF與平面沒有公共點？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

1推導出，，由，得，從而平面，由此能證明平面平面C.

2由，能求出三棱錐的體積．

3取中點M，連結MF，推導出，由此能求出線段上是否存在中點M，使直線MF與平面沒有公共點，此時．

證明：1在三棱柱中，

因為為等邊三角形，E為BC中點，

所以

又平面ABC，平面ABC，所以．

因為，所以

因為，平面，平面，

所以平面C.

所以平面平面C.

2，

取的中點D，連結DE，則，，

所以平面，

又F是的中點，所以，

所以

，

即三棱錐的體積為

3在線段上存在一點M，滿足題意．

理由如下：

取中點M，連結

因為F是的中點，所以MF是的中位線，

所以E.

因為平面，平面，

所以平面，

即直線MF與平面沒有公共點

此時