Question

【題目】設橢圓M:的左頂點為、中心為，若橢圓M過點，且 ．

（1）求橢圓M的方程；

（2）若△APQ的頂點Q也在橢圓M上，試求△APQ面積的最大值；

（3）過點作兩條斜率分別為的直線交橢圓M于兩點，且，求證：直線恒過一個定點．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）由，可知，

又點坐標為故，可得，　

因為橢圓M過點，故，可得，

所以橢圓M的方程為．　　　　　　　　　

（2）AP的方程為，即，

由于是橢圓M上的點，故可設，

所以

當，即時，取最大值．

故的最大值為．

法二：由圖形可知，若取得最大值，則橢圓在點處的切線必平行于，且在直線的下方．

設方程為，代入橢圓M方程可得，

由，可得，又，故．

所以的最大值． 　　　

（3）直線方程為，代入，可得

，，

又故，，　

同理可得，，又且，可得且，

所以，，，

直線的方程為，

令，可得．

故直線過定點．　　　　　　　　　　　　　　　　　

（法二）若垂直于軸，則，

此時與題設矛盾．

若不垂直于軸，可設的方程為，將其代入，

可得，可得，

又，

可得，

故，

可得或，又不過點，即，故．

所以的方程為，故直線過定點．