Question

【題目】已知， ．

（1）求在點處的切線；

（2）討論的單調性；

（3）當， 時，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出原函數的導函數，求出在處的導數值，即為切線斜率，代入直線方程的點斜式求得切線方程；
（2）求出原函數的導函數，可得當時導函數在定義域內大于0恒成立，當a＜0時求出導函數的零點，由零點對函數的定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號得到函數的單調區間；
（3）令，求其導函數，得到，故， 從而證得答案．

試題解析：

（1），

故在處的切線為．

（2）；

①當時， 恒成立，則在上單調遞增，

②當時， 在上單調遞減，在上單調遞增．

（3）先證明： 時， ，

令，

則時， ， 單調遞減，故，

即．

故，

令

則（），

而，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

，

由于，故，

所以在內恒成立，故在內單調遞增，

，

所以，

故問題得證．