Question

【題目】甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為 ，乙獲勝的概率為 ，各局比賽結果相互獨立．
（Ⅰ）求甲在4局以內（含 4 局）贏得比賽的概率；
（Ⅱ）記 X 為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】解：（I）用A表示甲在4局以內（含4局）贏得比賽的是事件，Ak表示第k局甲獲勝，Bk表示第k局乙獲勝，

則P（Ak）= ，P（Bk）= ，k=1，2，3，4，5

P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（ ）2+ （ ）2+ × ×（ ）2= ．

（Ⅱ）X的可能取值為2，3，4，5．

P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）= ，

P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）= ，

P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）= ，

P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）= ，

或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）= ，

故分布列為：

X	2	3	4	5
P

E（X）=2× +3× +4× +5× =

【解析】（Ⅰ）根據概率的乘法公式，求出對應的概率，即可得到結論．

（Ⅱ）利用離散型隨機變量分別求出對應的概率，即可求X的分布列；以及數學期望．

【考點精析】通過靈活運用離散型隨機變量及其分布列，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列即可以解答此題．