Question

已知函數．

(Ⅰ）求函數的單調遞增區間；

(Ⅱ）當時，在曲線上是否存在兩點，使得曲線在兩點處的切線均與直線交于同一點？若存在，求出交點縱坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由；

(Ⅲ）若在區間存在最大值，試構造一個函數，使得同時滿足以下三個條件：①定義域，且；②當時，；③在中使取得最大值時的值，從小到大組成等差數列．（只要寫出函數即可）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在，且交點縱坐標的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對參數的值影響函數極值點的存在與否進行分類討論，結合求解導數不等式求相應的單調區間；（Ⅱ）先將曲線在點、處的切線方程求出，并將交點的坐標假設出來，利用交點坐標滿足兩條切線方程，得到兩個不同的等式，然后利用等式的結構進行相應轉化為函數的零點個數來處理；（Ⅲ）可以根據題中的條件進行構造，但要注意定義域等相應問題.

試題解析：（Ⅰ）依題可得 ，

當時，恒成立，函數在上單調遞增；

當時，由，解得或，

單調遞增區間為和．                          4分

（Ⅱ）設切線與直線的公共點為，當時，，

則，因此以點為切點的切線方程為．

因為點在切線上，所以，即．

同理可得方程.                                6分

設，則原問題等價于函數至少有兩個不同的零點.

因為，

當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減．

因此，在處取極大值，在處取極小值．

若要滿足至少有兩個不同的零點，則需滿足解得．

故存在，且交點縱坐標的取值范圍為．                     10分

(Ⅲ）由(Ⅰ）知，，即．                    11分

本題答案不唯一，以下幾個答案供參考：

①，其中；

②其中；

③其中．        14分

考點：函數的單調區間、函數的零點