Question

【題目】已知三棱臺的下底面是邊長為2的正三角形，上地面是邊長為1的正三角形.在下底面的射影為的重心，且.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理及性質證明，或者建立空間直角坐標系，利用向量的數量積為0證明；

（2）運用綜合法求直線與平面所成的角應先確定該平面的垂線，即可求解，或者建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解.

解法一：（1）證明：記的重心為，連接并延長交于點.

因為底面為正三角形，則，

又點在底面上的射影為，

所以平面，則，

因為，所以平面，

又平面，所以.

又，且，

所以平面，

因此，平面.

（2）由于為棱臺，

設三側棱延長交于一點.

因為，

則，分別為棱，的中點.

又為正的重心，

則，，.

因為平面，

則，

故在中，，

由三角形相似，得，

.

取的中點，連接，，

則∥，且，

故平面，

即即為直線與平面所成的角.

又，

且，，，

所以，，

又，所以，

即，

所以，

即直線與平面所成角的正弦值為.

解法二：以重心為原點，直線，分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，

設，則，

，.

（1）證明：由，

即得，

即，

故，

又，

所以平面.

（2）由，

得，

所以.

設平面的法向量為，

因為，，

所以有，

令，則，所以.

設直線與平面所成的角為，

則.