Question

【題目】已知 ，且方程 無實數根，下列命題：

（1）方程 一定有實數根；

（2）若 ，則不等式 對一切實數 都成立；

（3）若 ，則必存在實數 ，使 ；

（4）若 ，則不等式 對一切實數 都成立．

其中，正確命題的序號是________________．（把你認為正確的命題的所有序號都填上）

Answer 1

【答案】（2）（4）

【解析】∵由函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實數根，
即y=ax2+bx+c與y=x的圖象無交點，
∴（1）函數y=f[f（x）]與y=x的圖象無交點，即方程f[f（x）]=x沒有實數根，（1）錯誤；
（2）當a＞0時，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，與y=x無交點，
∴f（x）的圖象在y=x圖象的上方，
∴不等式f[f（x）]＞x對一切實數x都成立，（2）正確；
（3）同理，當a＜0時，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在y=x的下方，
f[f（x）]＜x恒成立，∴（3）錯誤；
（4）當a+b+c=0時，f（1）=0，結合題意知a＜0，函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在y=x的下方，
不等式f[f（x）]＜x對一切x都成立，∴（4）正確．
綜上，正確的答案為（2）（4）．
故答案為（2）（4）