Question

【題目】已知數(shù)列， ， ， 滿足，且當(dāng)時(shí)， ，令．

（Ⅰ）寫出的所有可能的值．

（Ⅱ）求的最大值．

（Ⅲ）是否存在數(shù)列，使得？若存在，求出數(shù)列；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ， ， ， ;（2）;（3）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)由題設(shè)可知當(dāng)i=5時(shí)，可得滿足條件的數(shù)列的所有可能情況;
(Ⅱ)確定當(dāng)， ， 的前項(xiàng)取，后項(xiàng)取時(shí)最大,此時(shí).
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以知道,如果， ， 的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)， ， ， 取， ， ， 的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)， ， 取,則,利用條件,分n是奇數(shù)與偶數(shù),即可得到結(jié)論.

試題解析：（）有題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：

①， ， ， ， ，此時(shí)；

②， ， ， ， ，此時(shí)；

③， ， ， ， ，此時(shí)；

④， ， ， ， ，此時(shí)；

⑤， ， ， ， ，此時(shí)；

⑥， ， ， ， ，此時(shí)．

∴的所有可能的值為， ， ， ， ．

（） 由，可設(shè)，則或．

∵，∴

．

∵，

∴，且為奇數(shù)， ， 是由個(gè)和個(gè)構(gòu)成數(shù)列．

∴

．

則當(dāng)， ， 的前項(xiàng)取，后項(xiàng)取時(shí)最大，

此時(shí)．

證明如下：

假設(shè)， 的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)， ， 取，則， ， 的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)， 取，其中， ， ， ， ， ．

∴

．

∴的最大值為．

（）由（）可知，如果， ， 的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)， ， ， 取， ， ， 的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)， ， 取，則，若，

則．

∵是奇數(shù)，∴是奇數(shù)，而是偶數(shù)．

∴不存在數(shù)列，使得．