Question

（2007•溫州一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的面積為πab，設平面區域M={(x，y)|x2+

y2

4

≤1，且2x+y≥2}．
（Ⅰ）求平面區域M的面積；
（Ⅱ）若動直線x=t被平面區域M截得的線段長為d，試用t表示d并求出d的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：平面區域M如圖中陰影部分，則它的面積為此橢圓面積的

1

4

再減去△OAB的面積，結合題中的條件計算出各部分的面積進而達到答案．
（II）直線x=t在平面區域M中截得的線段長d=2

1-t2

-2(1-t)，再利用三角換元的有關知識與三角函數的有關性質求出最大值即可．

解答：解：（I）由題意可得：平面區域M如圖中陰影部分，則它的面積為此橢圓面積的

1

4

再減去△OAB的面積，---（3分）
由題中的條件可得：橢圓面積的

1

4

為

π

2

，三角形OAB的面積為1，
所以陰影部分的面積為

π

2

-1；---（6分）
（II）直線x=t在平面區域M中截得的線段長d=2

1-t2

-2(1-t)，---（10分）
設t=cosα，α∈[0，

π

2

]，
則有d=2sinα-2(1-cosα)=2

2

sin(α+

π

4

)-2
根據三角函數的性質可得：當α=

π

4

時，dmax=2

2

-2．---（14分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握三角換元與三角函數的有關性質，以及橢圓的標準方程與性質，此題屬于中檔題．