Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于直線l：ax+by+c=0和點P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），記η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，則稱點P1 ， P2被直線l分隔，若曲線C與直線l沒有公共點，且曲線C上存在點P1、P2被直線l分隔，則稱直線l為曲線C的一條分隔線．
（1）求證：點A（1，2），B（﹣1，0）被直線x+y﹣1=0分隔；
（2）若直線y=kx是曲線x2﹣4y2=1的分隔線，求實數k的取值范圍；
（3）動點M到點Q（0，2）的距離與到y軸的距離之積為1，設點M的軌跡為曲線E，求證：通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．

Answer 1

【答案】
（1）證明：把點（1，2）、（﹣1，0）分別代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，

∴點（1，2）、（﹣1，0）被直線 x+y﹣1=0分隔

（2）解：聯立直線y=kx與曲線x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根據題意，此方程無解，故有 1﹣4k2≤0，

∴k≤﹣ ，或 k≥ ．

曲線上有兩個點（﹣1，0）和（1，0）被直線y=kx分隔

（3）證明：設點M（x，y），則 |x|=1，故曲線E的方程為[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．

y軸為x=0，顯然與方程①聯立無解．

又P1（1，2）、P2（﹣1，2）為E上的兩個點，且代入x=0，有 η=1×（﹣1）=﹣1＜0，

故x=0是一條分隔線．

若過原點的直線不是y軸，設為y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，

令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，

∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0沒有實數解，

k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0沒有實數解，

即y=kx與E有公共點，

∴y=kx不是E的分隔線．

∴通過原點的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．

【解析】（1）把A、B兩點的坐標代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根據η＜0，得出結論．（2）聯立直線y=kx與曲線x2﹣4y2=1可得 （1﹣4k2）x2=1，根據此方程無解，可得1﹣4k2≤0，從而求得k的范圍．（3）設點M（x，y），與條件求得曲線E的方程為[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y軸為x=0，顯然與方程①聯立無解．把P1、P2的坐標代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一條分隔線．
【考點精析】本題主要考查了一般式方程的相關知識點，需要掌握直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）才能正確解答此題．