Question

【題目】將 顆珠子分成 堆.若通過每次從其中 堆中各取走一顆珠子，而最后取完，則稱這樣的分法為“和諧的”.試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

分法為和諧的充分必要條件是最多一堆珠子的顆數不超過.

下面設堆珠子的顆數分別為 ，且.

首先，用反證法證明必要性.

若分法是和諧的,則把 所對應的珠子取完至少要次，這次每次均要取走 顆珠子.如果，即，把所對應的一堆取完時,需取走的珠子顆數大于珠子的總數,而這是不可能的.因此，最多一堆珠子的顆數不能超過.

其次,用數學歸納法證明充分性.

當時，滿足的分法只能是 .顯然，這樣的分法是和諧的.

假設時，滿足的分法是和諧的.

當時，滿足，且分法是不和諧的，

則分法也是不和諧的.

由歸納假設及必要性的證明知.

因為，

所以，.

若，則.

故，這是不可能的.

因此，當時，滿足分法也是和諧的.