Question

【題目】已知奇函數與偶函數均為定義在上的函數，并滿足

（1）求的解析式；

（2）設函數

①判斷的單調性，并用定義證明；

②若，求實數的取值范圍

Answer 1

【答案】(1) (2) 為上的單增函數；證明見解析；① ②

【解析】

（1）利用解方程法，把看成兩個未知數，構造兩個方程，從而求得的表達式；

（2）①易得為上的單增函數，再利用定義單調性的三個步驟，即一取、二比、三下的完整步驟進行證明；

②利用換元法，令將不等式轉化為，再利用單調性得到，最后求得實數的取值范圍.

（1）因為奇函數與偶函數均為定義在上的函數，

所以，

因為，①

所以，

即②

①-②得：，所以；

（2）①為上的單增函數，以下給出證明：

因為，設，則：

因為，所以，，，

所以為上的單增函數；

②設，則，即

即，即，

因為，所以為奇函數，

由，得，又為上的增函數，

所以等價于，即，

所以，解得，即的取值范圍為.