Question

【題目】（本小題滿分14分）

設(shè)△ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c. 已知C＝，acosA=bcosB．

（1）求角A的大小；

（2）如圖，在△ABC的外角∠ACD內(nèi)取一點P，使得PC＝2．過點P分別作直線CA、CD的垂線PM、PN，垂足分別是M、N．設(shè)∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此時α的取值．

Answer 1

【答案】（1）（2）α＝時，PM＋PN取得最大值2．

【解析】

試題分析：（1）解三角形，就是利用正余弦定理將邊角統(tǒng)一，本題求角，應(yīng)利用正弦定理將邊化為角：sinAcosA＝sinBcosB，再根據(jù)二倍角公式及誘導(dǎo)公式求角：sin2A＝sin2B， A＝B或A＋B＝．因為C＝，所以A＝B，A＝．（2）求PM＋PN的最大值，首先建立函數(shù)關(guān)系式，取自變量為角：PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋).再根據(jù)基本三角函數(shù)求其最值：因為α∈(0，)，所以α＋∈(，)，從而有sin(α＋)∈(，1]，因此當α＋＝，即α＝時，PM＋PN取得最大值2．

試題解析：（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，又A∈(0，π)，B∈(0，π)，

所以有A＝B或A＋B＝． 2分

C＝，得A＋B＝，與A＋B＝矛盾，所以A＝B，

因此A＝． 4分

（2）由題設(shè)，得

在Rt△PMC中，PM＝PC·sin∠PCM＝2sinα；

在Rt△PNC中，PN＝PC·sin∠PCN＝ PC·sin(π－∠PCB)

＝2sin[π－(α＋)]＝2sin (α＋)，α∈(0，). 6分

所以，PM＋PN＝2sinα＋2sin (α＋)＝3sinα＋cosα＝2sin(α＋). 10分

因為α∈(0，)，所以α＋∈(，)，從而有sin(α＋)∈(，1]，

即2sin(α＋)∈(，2]．

于是，當α＋＝，即α＝時，PM＋PN取得最大值2． 14分