（09年長沙一中一模文）（13分） 設數列
的前
項和為
，且
，其中
為常數且
．
（１）證明：數列是等比數列；
（２）設數列的公比
，數列
滿足
，
（
求數列的通項公式；
（３）設
，
，數列
的前項和為
，求證：當
時，
．
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（09年長沙一中一模文）（13分） 設橢圓
：
的離心率為
，點
，
，原點
到直線
的距離為
．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點
為
，點
在橢圓上（與、均不重合），點
在直線
上，若直線
的方程為
，且
，試求直線
的方程．
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（09年長沙一中一模文）（12分） 現有甲、乙兩個盒子，甲盒子里盛有4個白球和4個紅球，乙盒子里盛有3個白球和若干個紅球，若從乙盒子里任取兩個球取得同色球的概率為
．
（1）求乙盒子中紅球的個數；
（2）從甲、乙盒子里各任取兩個球進行交換，若交換后乙盒子里的白球數和紅球數相等，就說這次交換是成功的，試求進行一次這樣的交換成功的概率是多少？查看答案和解析>>
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（09年長沙一中一模理）（13分）已知函數f (x) = lnx，g (x) =
(a＞0)，設F(x) = f (x) + g (x)．
（1）求函數F(x)的單調區間；
（2）若點
為函數
的圖象上任意一點，當
時，點P處的切線的斜率k≤
恒成立，求實數a的最小值；
（3）是否存在實數m，使得函數y = g(
) + m 1的圖象與函數y = f (1 + x2)的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．
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（09年長沙一中一模理）（12分）在如圖所示的多面體中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1．
（Ⅰ）求點A到平面BDE的距離；
（Ⅱ）求二面角BEDA的正切值．
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（09年長沙一中一模理）（12分）某單位小會議室里的3只白熾燈泡已壞，電工李師傅前往會議室更換。若所帶燈泡包裝盒中共有6只燈泡（外觀形狀完全一樣），其中4只好的，2只壞的。李師傅每次隨機從包裝盒中任取一只（每只被取的概率相同），若取出的燈泡是好的，則將其更換小會議室已壞的燈泡，若取出的燈泡是壞的，則不再放回包裝盒，也不能用它更換小會議室已壞的燈泡．
（Ⅰ）求李師傅第二次所取的燈泡是好的的概率；
（Ⅱ）設李師傅全部更換了小會議室的3只已壞燈泡時，從包裝盒中所取燈泡次數為
，求的分布列和期望．
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，
，∴
，
是等比數列． ……………………4 分
，∴
，
是首項為
，公差為1的等差數列；∴
，
． ……………………8分
時，
，∴
，
， ①
②
②得
，
, …………………………11分
,
單調遞增, 
時, 
. …………………………13分 
