Question

（09年長沙一中一模理）（13分）已知函數f (x) = lnx，g (x) =(a＞0)，設F(x) = f (x) + g (x)．

（1）求函數F(x)的單調區間；

（2）若點為函數的圖象上任意一點，當時，點P處的切線的斜率k≤恒成立，求實數a的最小值；

（3）是否存在實數m，使得函數y = g() + m 1的圖象與函數y = f (1 + x²)的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：（1）F(x) = f (x) + g (x) = lnx +(x＞0)，F′(x) =．

∵a＞0，由F′(x)＞0x∈(a，+∞)，∴F(x)在[a，+∞)上單調遞增．

由F′(x)＜.0x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a]上單調遞減．

∴F(x)的單調遞減區間為(0，a]，單調遞增區間為[a，+∞)．   ……3分

（2）F′(x) =，k = F′(x₀) =≤(0＜x₀≤3)

恒成立，

當x₀ = 1時，取得最大值．

∴a≥，∴a_min =．                                   ……6分

（3）若y = g+ m 1 =x² + m 的圖象與y = f (1 + x²) = ln(x² +1)的圖象恰有四個不同的交點，即有四個不同的根，亦即m = ln(x² + 1) x² +有四個不同的根．

令G(x) = ln(x² + 1) ，則G′(x) = x =

當x變化時，G′(x)、G (x)的變化情況如下表：

x	(∞，1)	(1，0)	(0，1)	(1，+∞)
G′(x)的符號	+		+
G (x)的單調性	增	減	增	減

……10分

由表格知：G (x)_極小值 = G (0) =，G (x)_極大值 = G (1) = G (1) = ln2＞0，       ……11分

畫出草圖和驗證G(2) = G(2) = ln5 2 +＜可知，當m∈(，ln2)時，y = G (x)與y = m恰有四個不同的交點．

∴當m∈(，ln2)時，y =+ m 1的圖象與y = f (1 + x²)的圖象恰有四個不同的交點．                                                                  ……13分