Question

（09年長沙一中一模理）（12分）在如圖所示的多面體中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1．

（Ⅰ）求點A到平面BDE的距離；

（Ⅱ）求二面角BEDA的正切值．

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵DE = BE =，BD =，

∴S_△BDE =，設點A到平面BDE的距離為h．

又∵S_△ABC =，V_DABC = V_ABDE

∴    ∴h =

即點A到平面BDE的距離為． ……6分

（Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC

取AC的中點M，連結BM，則BM⊥AC，BM⊥平面DACE．

過M作MN⊥DE，交DE于N，連結BN，則BN⊥DE，

∴∠BNM是所求二面角的平面角．

設AC、DE的延長線相交于點P，∵DA = 2EC，∴CP = 2

由△MNP∽△DAP得，MP = 3，DA = 2

DP =，∴MN =

又∵BM =，∴tan∠BNM =．  ……12分

應用空間向量求解參照計分