Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）問：是否存在過點的直線l，使以直線l被橢圓E所截得的弦為直徑的圓過點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直線或

【解析】

（1）根據橢圓的離心率公式及橢圓過點A,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程；

（2）討論直線l的斜率不存在,求得C,D的坐標,可得符合題意；設直線的斜率存在,設為,代入橢圓方程,運用韋達定理和判別式大于0,由以為直徑的圓過定點,可得,由向量的數量積的坐標表示,解方程可得所求斜率,即可判斷存在性.

（1）由題意過點,則,

∵橢圓的離心率,則,,

∴橢圓的標準方程：

當直線l的斜率不存在時,直線l即為y軸,

此時C,D為橢圓C的短軸端點,以為直徑的圓經過點；

當直線l的斜率存在時,設其斜率為k,由,

得,

所以.

設,,則

而,

因為以為直徑的圓過定點,

所以,則,即.

所以.②

將①式代入②式整理解得.滿足.

綜上可知,存在直線或,使得以為直徑的圓經過點.