Question

設雙曲線方程

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的半焦距為c，直線l過（a，0），（0，b）兩點，已知原點到直線l的距離為

3

4

c．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）經過該雙曲線的右焦點且斜率為2的直線m被雙曲線截得的弦長為15，求雙曲線的方程．

Answer 1

（1）b＞a⇒b2＞a2⇒c2-a2＞a2⇒c2＞2a2⇒e2＞2⇒e＞

2

…（2分）
直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，由原點到直線l的距離為

3

4

c得d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

4

c，即16a²（c²-a²）=3c⁴，…（4分）
兩邊同時除以a⁴得16（e²-1）=3e⁴，整理得3e⁴-16e²+16=0，解得e2=

4

3

或4…（5分）
又e＞

2

，故雙曲線的離心率為e=2…（6分）
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

3a2

=1
又由題意得直線m方程為y=2（x-2a），代入雙曲線方程得…（7分）
3x²-4（x-2a）²=3a²，整理得x²-16ax+19a²=0…（8分）
記直線m與雙曲線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=16a，x₁x₂=19a²…（9分）∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(256a2-76a2)

=30a=15∴a=

1

2

…（11分）
∴所求雙曲線方程為

x2

1 4

-

y2

3 4

=1…（12分）