Question

【題目】已知曲線的一條切線過點(diǎn).

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）若，.

①討論函數(shù)的單調(diào)性；

②當(dāng)時(shí)，求證：.

Answer 1

【答案】(1);(2)①見解析.②見解析.

【解析】

(1) 求出，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，由切線過點(diǎn)，可得，利用導(dǎo)數(shù)可得的最大值，從而可得結(jié)果；（2）①求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；②要證明，只需證明，而，所以成立.

（1），

設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，

∵切線過點(diǎn)，∴，

∴，

∴，

設(shè)，則，令，則，

∴，∴.

（2）當(dāng)時(shí)，，∵，

∴，

.

①（i）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；

（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù)；

（iii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)；

（iv）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù).

②證明：當(dāng)時(shí)，，要證明，只需證明，

而，所以成立.