Question

【題目】已知四棱錐，底面為正方形，且底面，過的平面與側面的交線為，且滿足（表示的面積）.

（1）證明： 平面；

（2）當時，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）利用平幾知識由S△PEF：S四邊形CDEF=1:3知E為PC的中點，連接BD交AC與G，則G為BD中點，由三角形中位線性質得EG//PB，再根據線面平行判定定理得結果（2）先根據中點得,再根據等體積法得,根據CD⊥平面PAD，得高CD，利用錐體體積公式得，即得，最后根據高等于點到平面的距離

試題解析：（Ⅰ）證明：由題知四邊形ABCD為正方形

∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD

∴AB//平面PCD

又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF

∴EF // AB，又AB//CD

∴EF //CD，

由S△PEF：S四邊形CDEF=1:3知E、F分別為PC、PD的中點

連接BD交AC與G，則G為BD中點，

在△PBD中FG為中位線，∴ EG//PB

∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE

∴PB//平面ACE.

（Ⅱ）∵PA=2，AD=AB=1， ∴,

∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD

在Rt△CDE中，

在△ACE中由余弦定理知

∴，∴S△ACE=

設點F到平面ACE的距離為，則

由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且

∵E為PD中點，∴E到平面ACF的距離為

又F為PC中點，∴S△ACF S△ACP ，∴

由知

∴點F到平面ACE的距離為.