Question

已知拋物線C：y=

1

4

x2在點A處的切線l與直線l'：y=x+1平行．
（1）求A點坐標和直線l的方程；
（2）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）先設切線方程，聯立切線方程與拋物線方程，根據A為切點，方程只有一組解求出直線l的方程；進而求出A點坐標；
（2）先根據圓A的半徑r等于圓心A到的距離求出半徑即可得到結論．

解答：解：（1）設拋物線C：y=

1

4

x2在點A處的切線l的方程為：y=x+b    ①，
由

y=x+b x2=4y

⇒x²-4x-4b=0．②
令△=4²-4×（-4b）=0⇒b=-1，代入②得x=2，結合①得y=1
所以：A（2，1），直線l的方程為y=x-1．
（2）拋物線的準線為y=-1，所以圓A的半徑r等于圓心A到的距離，即r=2．
所以圓A的方程為（x-2）²+（y-1）²=4．

點評：本題主要考察圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關鍵在于設切線方程，聯立切線方程與拋物線方程，根據A為切點，方程只有一組解求出直線l的方程．