Question

已知函數．
（Ⅰ）若是上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當a≥1時，證明不等式≤x+1對x∈R恒成立；
（Ⅲ）對于在(0，1)中的任一個常數a，試探究是否存在x₀>0，使得>x₀+1成立？如果存在，請求出符合條件的一個x₀；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）a的取值范圍為a≤0；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）可找到一個常數，使得>x₀+1成立．

試題分析：（I）時，，求導得．由題意，≥0在上恒成立.因為e^x>0恒成立，故只需≥0在上恒成立，結合拋物線的圖象即可得a的取值范圍；（Ⅱ）由題知f(x)≤x+1即為-≤x+1．由于含有，故分和兩種情況討論.①在x≥0時，要證明-≤x+1成立，可變為證1≤成立，這樣只需利用導數求的最小值即可，求導得，易得≥0，從而g(x)≥g(0)=1.注：直接證也可，只是需要求兩次導數．
②在x≤0時，要證-≤x+1成立，可變為證1≤成立，這樣只需利用導數求的最小值即可.
（Ⅲ）要使f(x₀)>x₀+1成立，即.如果變為，那么求導后式子很復雜，故嘗試作其它的變形.
變形為，要找一個x₀>0使該不等式成立，只需找到函數的最小值，滿足即可．這利用導數就容易解決了.
試題解析：（I）∵時，，
∴．
由題意，≥0在上恒成立，
當a=0時，>0恒成立，即滿足條件．
當a≠0時，要使≥0，而e^x>0恒成立，
故只需≥0在上恒成立，即
解得a<0．
綜上，a的取值范圍為a≤0．                  4分
（Ⅱ）由題知f(x)≤x+1即為-≤x+1．
①在x≥0時，要證明-≤x+1成立，
只需證≤，即證1≤，      ①
令，得，
整理得，
∵x≥0時，≤1，結合a≥1，得≥0，
∴為在上是增函數，故g(x)≥g(0)=1，從而①式得證．
②在x≤0時，要使-≤x+1成立，
只需證≤，即證1≤，       ②
令，得，
而在x≤0時為增函數，
故≤≤0，從而≤0，
∴m(x)在x≤0時為減函數，則m(x)≥m(0)=1，從而②式得證．
綜上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1時恒成立． 10分
（Ⅲ）要使f(x₀)>x₀+1成立，即，
變形為， ③
要找一個x₀>0使③式成立，只需找到函數的最小值，滿足即可．
∵，
令得，則x=-lna，取x₀=-lna，
在0<x<-lna時，，在x>-lna時，，
即t(x)在(0，-lna)上是減函數，在(-lna，+∞)上是增函數，
∴當x=-lna時，取得最小值
下面只需證明：在時成立即可．
又令，
則≥0，從而在(0，1)上是增函數，
則，從而，得證．
于是的最小值，
因此可找到一個常數，使得③式成立．      14分