Question

【題目】已知的三個頂點，其外接圓為圓．

（1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）對于線段（包括端點）上的任意一點，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點，使得點是線段的中點，求圓的半徑的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

試題(1)借助題設條件直接求解；(2)借助題設待定直線的斜率,再運用直線的點斜式方程求解；(3)借助題設建立關于的不等式,運用分析推證的方法進行求解.

試題解析：

（1）的面積為2；

（2）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，

所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為，

設圓心到直線的距離為，因為直線被圓截得的弦長為2，所以.

當直線垂直于軸時，顯然符合題意，即為所求；

當直線不垂直于軸時，設直線方程為，則，解得，

綜上，直線的方程為或.

（3）直線的方程為，設，，

因為點是線段的中點，所以，又，都在半徑為的圓上，

所以即

因為該關于，的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點，所以，

又，所以對成立.

而在上的值域為，所以且.

又線段與圓無公共點，所以對成立，即.

故圓的半徑的取值范圍為.