Question

【題目】已知在直角梯形中， ， ，將沿折起至，使二面角為直角.

(1)求證：平面平面；

(2)若點滿足, ，當二面角為45°時，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）要證平面平面，轉證平面即可；（2）建立空間直角坐標系計算平面的法向量，利用二面角為45°建立等量關系求出的值.

試題解析：

(1)梯形中，

∵∴.

又∵,

∴,∴.

∴.

折起后，∵二面角為直角，

∴平面平面.

又平面平面,

∴平面.

又平面，

∴.

又∵,

∴平面.

又∵平面，∴平面平面.

(2)由(1)知， 平面，∴以為原點， 方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則,

設，由,

得，得.

取線段的中點，連結，

則,

∵,∴.

又∵,

∴平面.

∴平面的一個法向量為.

設平面的一個法向量為，

則

取，則.

∴，

即或.

∵，∴.