Question

【題目】正四面體中，是的中點(diǎn)，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

將正三角形和正三角形沿邊展開后使它們?cè)谕�一平面�?nèi)，即可得到三點(diǎn)共線時(shí)，最小，在三角形中，由余弦定理可求得正四面體的邊長為，將正四面體內(nèi)接于一個(gè)正方體中，利用體積差即可求得正四面體的體積為，再以內(nèi)切球的球心為頂點(diǎn)可將正四面體分成四個(gè)等體積的三棱錐，利用等體積法即可求得內(nèi)切球的半徑為，問題得解。

如下圖，正方體中作出一個(gè)正四面體

將正三角形和正三角形沿邊展開后使它們?cè)谕�一平面�?nèi)，如下圖：

要使得最小，則三點(diǎn)共線，即：，

設(shè)正四面體的邊長為，在三角形中，由余弦定理可得：

，解得：，

所以正方體的邊長為2，正四面體的體積為：，

設(shè)四正面體內(nèi)切球的半徑為，由等體積法可得：，

整理得：，解得：，

所以該四面體內(nèi)切球的體積為.