Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，BD是對角線，過點A作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點D到點P的位置，且PB＝.

(1)求證：PO⊥平面ABCE；
(2)求二面角E­AP­B的余弦值．

Answer 1

(1)見解析   (2)

解：(1)證明：由已知得AB＝3，AD＝6，
∴BD＝9.
在矩形ABCD中，∵AE⊥BD，
∴Rt△AOD∽Rt△BAD，
∴＝，∴DO＝4，∴BO＝5.
在△POB中，PB＝，PO＝4，BO＝5，
∴PO²＋BO²＝PB²，
∴PO⊥OB.又PO⊥AE，AE∩OB＝O，
∴PO⊥平面ABCE.
(2)∵BO＝5，
∴AO＝＝2.
以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,0,4)，

A(2，0,0)，B(0,5,0)，
＝(2，0，－4)，＝(0,5，－4)．
設n₁＝(x，y，z)為平面APB的法向量．
則即
取x＝2得n₁＝(2，4,5)．
又n₂＝(0,1,0)為平面AEP的一個法向量，
∴cos〈n₁，n₂〉＝＝＝，
故二面角E­AP­B的余弦值為.