Question

設
(Ⅰ)的圖象關于原點對稱，當時，的極小值為，求的解析式。
(Ⅱ)若，是上的單調函數，求的取值范圍

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)由題意知，函數是奇函數，利用奇函數的定義可求出，由函數在處取得極小值為，可得，，進而求出在，一般地，多項式函數為奇函數，則偶次項系數為0，連續可導的函數在某點處取得極值，則該點處導數為0，但連續可導的函數在某點處導數為0，則該處不一定取得極值，所以用以上方法求出函數解析式后，還需進行驗證；(Ⅱ)函數在某區間上是單調函數，則導函數在該區間上導數大于等于0恒成立，所以問題又轉化為不等式恒成立問題，本題導函數是二次函數，其恒成立問題可用判別式判斷，也可分離參數轉化為最值問題.
試題解析：(Ⅰ)因為的圖象關于原點對稱，所以有即，       1分
所以，
所以，
所以     3分
由，依題意，，，
解之，得     6分
經檢驗符合題意       7分
故所求函數的解析式為.
(Ⅱ)當時，，，
因為是上的單調函數，所以恒成立，
即恒成立       8分
即成立，所以     12分