Question

湛江為建設國家衛生城市，現計劃在相距20 km的赤坎區（記為A）霞山區（記為B）兩城區外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對市區的影響度與所選地 
點到市區的距離有關，對赤坎區和霞山區的總影響度為兩市區的影響度之和，記C點到赤坎區的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對兩市區的總影響度為y.統計調查表明：垃圾處理廠對赤坎區的影響度與所選地點到赤坎區的距離的平方成反比，比例系數為4；對霞山區的影響度與所選地點到霞山區的距離的平方成反比，比例系數為k.當垃圾處理廠建在的中點時，對兩市區的總影響度為0.065.
(1)將y表示成x的函數；
(2)討論(1)中函數的單調性，并判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到赤坎區的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）根據條件中描述：垃圾處理廠對赤坎區的影響度與所選地點到赤坎區的距離的平方成反比，比例系數為4；對霞山區的影響度與所選地點到霞山區的距離的平方成反比，比例系數為k，而y表示建在C處的垃圾處理廠對兩市區的總影響度為y，因此可設，根據題意當垃圾處理廠建在的中點時，對兩市區的總影響度為0.065可求得k的值；（2）由(1)，，可求得，進而可以得到y的在(0,20)上的單調性，從而求得y的最小值.
(1)如圖，由題意知AC⊥BC，AC＝x km，則，
      2分

由題意知，當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065，即當時，y＝0.065，代入得k＝9.所以y表示成x的函數為．        6分；
（2）由于，∴        8分
令得或(舍去)，    9分
當時，，即，此時函數為單調減函數；當時，，即，此時函數為單調增函數         12分
所以當時，即當C點到赤坎區的距離為時，函數有最小值    14分.