Question

【題目】如圖（1）在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，點(diǎn)E在線段AB上，且BE＝1，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCDE，如圖（2）．

（1）求證：CE⊥平面A1DE；

（2）求證：A1D⊥A1C；

（3）線段A1C上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面A1DE？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）存在，為五等分點(diǎn)靠近點(diǎn).

【解析】

（1）在兩面垂直的前提下，垂直交線則垂直另一平面；

（2）通過計(jì)算利用勾股定理得證；

（3）需作出輔助平面，利用兩面平行后，一個(gè)平面內(nèi)的直線平行另一平面，得到點(diǎn)．

（1）證明：∵如圖（1）在矩形ABCD中，

AB＝5，AD＝2，

點(diǎn)E在線段AB上，且BE＝1，

∴，

，

CD＝5，

∴，

∴CE⊥DE，

∵平面A1DE⊥平面BCDE，

∴CE⊥平面A1DE．

（2）由題意得A1D＝AD＝2，

A1E＝AE＝4，

，且CE⊥A1E，

∴A1C＝，

∴，

∴A1D⊥A1C．

（3）取CD上點(diǎn)M，使DM＝1＝BE，

又DM∥BE，

∴DMBE為平行四邊形，

∴BM∥DE，

∴BM∥平面A1DE，

在△A1DC內(nèi)，作MF∥A1D交A1C與F，

則MF∥平面A1DE，

∴平面FMB∥平面A1DE，

∴BF∥平面A1DE，

故存在點(diǎn)F（A1C的五等分點(diǎn)靠近點(diǎn)A1），

使得BF∥平面A1DE．