Question

（12分）定義在區間(－1，1)上的函數f (x)滿足：①對任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x) + f (y) =; ②當x∈(－1，0)，f (x) > 0.
（1）求證f (x)為奇函數；
（2）試解不等式：f (x) + f (x－1) .

Answer 1

（1）略
（2）不等式的解集為

解：（1）解：令x = y = 0，則
f (0) + f (0) =   ∴ f (0) = 0
令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)
∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0
∴ f (－x) =－f (x)
∴ f (x) 在(－1，1)上為奇函數…………………4分
（2）解：令－1< x₁ < x₂ < 1
則f (x₁) －f (x₂) = f (x₁) + f (－x₂) =
∵x₁－x₂ < 0，1－x₁x₂ > 0
∴ ∴ > 0
∴ f (x₁) > f (x₂) ∴ f (x) 在(－1，1)上為減函數
又f (x) + f (x－1) >
…………………8分
∴ 不等式化為
或
∴ 不等式的解集為…………………12分