Question

【題目】在數列{an}中，a1=1，a2= ，且an+1= （n≥2）
（1）求a3 ， a4；
（2）猜想an的表達式，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由數列{an}，a1=1，a2= ，且an+1= （n≥2）．

令n=2，則a3= = = ；

令n=3，則 =

（2）解：由（1）可猜想 ．

下面利用數學歸納法加以證明：

①當n=1，2，3，4時，由（1）和已知經驗證可知：結論成立；

②假設當n=k（k≥4）時，結論也成立，即 ；

那么當n=k+1時，由題設與歸納假設可知： = = ．

即當n=k+1時，結論也成立．

綜上，對n∈N*， 成立．

【解析】
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解歸納推理的相關知識，掌握根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理，以及對數學歸納法的定義的理解，了解數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．