Question

【題目】已知函數f（x）=sinωx+λcosωx，其圖象的一個對稱中心到最近的一條對稱軸的距離為 ，且在x= 處取得最大值．
（1）求λ的值．
（2）設 在區間 上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sinωx+λcosωx= sin（ωx+φ），其中tanφ=λ；

由題可得 = ，

∴T=π，

∴ω= =2，

∵x= 處取得最大值，

∴ +φ= ，

∴φ= ，

∴λ=tan =

（2）解：由（1）可得f（x）=2sin（2x+ ），

∴ =2asin（2x+ ）+cos（4x﹣ ）

=2asin（2x+ ）+2cos2（2x﹣ ）﹣1

=2asin（2x+ ）+2sin2（2x+ ）﹣1；

設t=sin（2x+ ），其中x∈（ ， ），

∴2x+ ∈（ ，π），

0＜sin（2x+ ）＜ ，

函數t=sin（2x+ ）是單調減函數，且0＜t＜ ；

∴函數g（t）=2t2+2at﹣1，在對稱軸t=﹣ 的左側單調遞減，

令﹣ ≥ ，解得a≤﹣1，

∴a的取值范圍是a≤﹣1

【解析】（1）化簡f（x）為正弦型函數，利用函數的周期和最值求出ω、λ的值；（2）由f（x）寫出g（x）的解析式，利用換元法和復合函數的單調性，即可求出a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的兩角和與差的正弦公式，需要了解兩角和與差的正弦公式：才能得出正確答案．