Question

【題目】設函數y=f（x）在[﹣3，3]上是奇函數，且對任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，f（x）＜0，f（1）=﹣2：
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）求不等式f（x﹣1）＞4的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1得：f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=﹣4．

（Ⅱ）結論：函數f（x）在[﹣3，3]上是單調遞減的，證明如下：

任取﹣3≤x1＜x2≤3，

則f（x2）﹣f（x1）=f（x1+x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵x1＜x2，x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）＜f（x1），

故函數f（x）在[﹣3，3]上是單調遞減．

（Ⅲ）由于f（2）=﹣4，

∴不等式f（x﹣1）＞4等價于f（x﹣1）＞﹣f（2）=f（﹣2），

又∵函數f（x）在[﹣3，3]上是單調遞減，

∴ ，解得﹣2≤x＜﹣1，

故原不等式的解集為[﹣2，﹣1）．

【解析】（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=1，代入即可解得f（2）的值，（2）函數f（x）在[﹣3，3]上是單調遞減的，根據函數的單調性的定義進行設值，著差判斷出單調性，（3）由于f（2）=﹣4，不等式f（x﹣1）＞4等價于f（x﹣1）＞﹣f（2）=f（﹣2），根據函數的單調性得出不等式組，即可解得原不等式的解集.