Question

已知數列a_n的前n項和S_n滿足條件2S_n=3（a_n-1），其中n∈N^*．
（1）求證：數列a_n成等比數列；
（2）設數列b_n滿足b_n=log₃a_n．若 tn=

1

bnbn+1

，求數列t_n的前n項和．

Answer 1

分析：（1）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）和題中條件求出a_n和a_n-1的關系即可證得數列{a_n}為等比數列；
（2）先由（1）的結論求出數列{b_n}的通項公式，再代入求出數列{t_n}的通項公式，最后用裂項相消法求數列{t_n}的前n項和即可．

解答：解：（1）由題得an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-an-1)(n≥2)（2分）
所以a_n=3a_n-1故有

an

an-1

=3(n≥2)（4分）
又S1=

3

2

(a1-1)=a1，解得a₁=3，
所以數列a_n成等比數列（6分）
（2）由（1）得a_n=3ⁿ，則b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n（8分）
故有tn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

所以t1+t2+t3++tn=

1

1•2

+

1

2•3

+

1

3•4

+

1

n(n+1)

（10分）
=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)（14分）
=

n

n+1

（16分）

點評：本題主要考查數列遞推關系式的應用以及數列求和的裂項相消法求和．數列求和的常用方法有：公式法，錯位相減法，裂項相消法，分組求和等．