Question

已知數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和Sn=

3

2

(an-1)，n∈N₊．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)n∈N₊，集合A_n={y|y=a_i，i≤n，i∈N₊}，B={y|y=4m+1，m∈N₊}．現(xiàn)在集合A_n中隨機(jī)取一個(gè)元素y，記y∈B的概率為p（n），求p（n）的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式（注意檢驗(yàn)n=1是否成立）
（2）對(duì)i取奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別討論求出對(duì)應(yīng)的集合A_n，再求出對(duì)應(yīng)的p（n）的表達(dá)式即可．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="8pheske" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Sn=

3

2

(an-1)，n∈N₊，所以Sn+1=

3

2

(an+1-1)．
兩式相減，得Sn+1-Sn=

3

2

(an+1-an)，即an+1=

3

2

(an+1-an)，
∴a_n+1=3a_n，n∈N₊．（3分）
又S1=

3

2

(a1-1)，即a1=

3

2

(a1-1)，所以a₁=3．
∴a_n是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．
從而a_n的通項(xiàng)公式是a_n=3ⁿ，n∈N₊．（6分）
（2）設(shè)y=a_i=3ⁱ∈A_n，i≤n，n∈N₊．
當(dāng)i=2k，k∈N₊時(shí)，
∵y=3^2k=9^k=（8+1）^k=C_k⁰8^k+C_k¹8^k-1++C_k^k-18+C_k^k=4×2（C_k⁰8^k-1+C_k¹8^k-2++C_k^k-1）+1，∴y∈B．（9分）
當(dāng)i=2k-1，k∈N₊時(shí)，
∵y=3^2k-1=3×（8+1）^k-1=3×（C_k-1⁰8^k-1+C_k-1¹8^k-2++C_k-1^k-28+C_k-1^k-1）
=4×6（C_k-1⁰8^k-2+C_k-1¹8^k-3++C_k-1^k-2）+3，∴y∉B．（12分）

又∵集合A_n含n個(gè)元素，
∴在集合A_n中隨機(jī)取一個(gè)元素y，有y∈B的概率p（n）=

1 2 ，n為偶數(shù) n-1 2n ，n為奇數(shù)

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．