Question

已知數(shù)列a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，滿足（p-1）s_n=p²-a_n，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n≥M時(shí)，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立，求出M的最小值；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，數(shù)列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數(shù)列，其中x，y均為整數(shù)，求出x，y的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為

1

p

，可求所以a₁=p，可得答案；
（2）由（1）可得(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)34，分0＜p＜1和p＞1兩種情況來討論；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，因?yàn)閿?shù)列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數(shù)列，可得2^x=1+2^y-2，通過對y進(jìn)行討論可得，當(dāng)y=2時(shí)，2^x=2，則x=1；當(dāng)y＞2和y＜2時(shí)，均會(huì)產(chǎn)生矛盾，故而得解．

解答：解：（1）因?yàn)椋╬-1）s_n=p²-a_n，所以當(dāng)n≥2時(shí)，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，
兩式相減得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以

an

an-1

=

1

p

，
所以數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為

1

p

，
又當(dāng)n=1時(shí)，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa1=p2
因?yàn)閜＞0，所以a₁=p，所以{a_n}的通項(xiàng)公式為：an=p(

1

p

)n-1=(

1

p

)n-2
（2）由（1）知：a₁a₄a₇…a_3n-2=(

1

p

)-1(

1

p

)2(

1

p

)5…(

1

p

)3n-4=(

1

p

)-1+2+5+…+3n-4=(

1

p

)

n(3n-5)

2

而a36=(

1

p

)34，所以不等式a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆，即為(

1

p

)

n(3n-5)

2

＞(

1

p

)34
p為正常數(shù)，且p≠1，所以當(dāng)0＜p＜1時(shí)，

1

p

＞1，所以

n(3n-5)

2

＞34，解得n＜-4或n＞

17

3

，
故存在最小值為6的M，使得a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立；
當(dāng)p＞1時(shí)，0＜

1

p

＜1，所以

n(3n-5)

2

＜34，解得-4＜n＜

17

3

，不合題意，
綜合可得：當(dāng)當(dāng)0＜p＜1時(shí)，所求M的最小值為6．
（3）當(dāng)p=2時(shí)，an=(

1

2

)n-2，因?yàn)閿?shù)列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差數(shù)列，
所以2×2x(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2 +2y(

1

2

)n，
化簡得2^x=1+2^y-2，顯然x＞y-2，因?yàn)閤，y均為整數(shù)，
所以當(dāng)y=2時(shí)，2^x=2，則x=1，
當(dāng)y＞2時(shí)，2^y-2為偶數(shù)，則1+2^y-2為奇數(shù)，即2^x為奇數(shù)，這與2^x為偶數(shù)矛盾，
當(dāng)y＜2時(shí)，2-y＞0，x+2-y＞0，由2^x=1+2^y-2得，2^x+2-y=1+2^2-y，則2^2-y為偶數(shù)，
1+2^2-y為奇數(shù)，即2^x+2-y為奇數(shù)，這與2^x+2-y為偶數(shù)矛盾，
綜合得：x=1，y=2．

點(diǎn)評(píng)：本題為等差、等比數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，涉及分類討論的思想，屬中檔題．