Question

【題目】有一半徑為的圓柱，靜止在水平地面上，并與豎直墻面相接觸。現有另一質量與相同，半徑為的較細圓柱，用手扶著圓柱，將放在的上面，并使之與墻面相接觸，如圖所示，然后放手。已知圓柱與地面的靜摩擦系數為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦系數為0.30,，若放手后，兩圓柱體能保持如圖所示的平衡，問：圓柱與墻面間的靜摩擦系數和圓柱的半徑的值各應滿足什么條件？

Answer 1

【答案】

【解析】

放上圓柱后,圓柱有向下運動的傾向,對圓柱和墻面有壓力.圓柱傾向于向左運動,對墻面沒有壓力.平衡是靠各接觸點的摩擦力維持的.現設系統處于平衡狀態,取圓柱受地面的正壓力為,水平摩擦力為;圓柱受墻面的正壓力為,豎直摩擦力為,圓柱受圓柱的正壓力為,切向摩擦力為;圓柱受圓柱的正壓力為,切向摩擦力為,如圖所示.各力以圖示方向為正方向.

已知圓柱與地面的摩擦系數,兩圓柱間的摩擦系數.設圓柱與墻面的摩擦系數為,過兩圓柱中軸的平面與地面的交角為。

設兩圓柱的質量均為,為了求出以及為保持平衡所需的之值,下面列出兩圓柱所受力和力矩的平衡方程。

對圓柱，有

, ①

, ②

. ③

對圓柱,有

, ④

, ⑤

. ⑥

由于,得

, ⑦

式中代表和的大小。又因,于是式①②④⑤四式成為

, ⑧

, ⑨

, ⑩

.

以上四式是和的聯立方程,解這聯立方程可得

,

，

，

.

式是平衡時所需要的力,沒有問題,但三個力能不能達到所需要的數值，即式要受摩擦系數的制約.三個力中只要有一個不能達到所需的值,在那一點就要發生滑動而不能保持平衡。

首先討論圓柱與墻面的接觸點.接觸點不發生滑動,要求

。

由式得,，

所以，.

再討論圓柱與地面的接觸點的情形.按題設,此處的摩擦系數為,根據摩擦定律，若上面求得的接觸點維持平衡所需的水平力滿足,則圓柱在地面上不滑動;若,這一點將要發生滑動。

圓柱在地面上不發生滑動的條件是

.

由圖乙可知，

則.

由式以及,可以求得

.

即只有當時,圓柱A在地面上才能不滑動。

最后討論兩圓柱的接觸點.

.

由式以及,可解得

.

顯然,在平衡時,的上限為.總結式和式,得到滿足的條件為

.