Question

【題目】長為的均勻細桿，一端放在水平地面上，同時斜擱在半徑為的勻質圓柱上，如圖所示，三個接觸處的摩擦因數均為.證明：

（1）如果，則平衡時桿與地面間的最大傾角.

（2）如果，則當平衡時，最大傾角由下列方程確定：.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

(i)由圓柱體的平衡條件可知,兩處的摩擦力總是一樣大的,如果要在兩處產生滑動,則一定是處先滑動;(i)由平衡時三力共點的條件可知,桿對圓柱體在點的作用力(約束反力)一定過點。

由此可知,圓柱體對桿的作用力方向總是沿方向的,不論其是否處于臨界狀態。

我們首先討論桿的平衡條件:

由于桿與外界有兩處接觸,哪一處先達到臨界狀態都是有可能的,因此,在一系列的可能狀態中,我們挑選一特定狀態,即同時達到臨界狀態時,桿長與圓柱半徑應滿足的關系,此刻的用表示.

由圖乙中幾何關系易知,桿的上端應在過點的豎直線上,則

，

其中,

且.

所以，.

(1)時,討論其平衡。

當時,桿的質心將沿桿下移,圖乙中點上移到點(點仍保持臨界),此時點受力通過點,系統才能保持平衡,點處的作用力方向變為方向,與法向的交角小于.在這種情況下,即處處于臨界,處未達到臨界,這種情況仍然屬于系統(桿)處于臨界狀態,而桿與地面的交角仍然是桿達到臨界平衡時的最大交角.

顯然,在這種情況下,還有一幾何約束,即不能小于,即不能小于,否則桿就不能擱在圓柱上了.考慮到,所以,條件統一表示為

，或.

在此情況下,桿與地面間的夾角滿足

，即.

(2)時,討論其平衡。

在不變的情況下,當時,點將沿桿上移,此時通過點的豎直線與圓柱對桿的作用方向上的直線交于,在點之下.如果系統還要達到平衡,三力必須交于,但是,此時與豎直方向交角已經大于,桿不能達到平衡.

如圖丙所示,為了達到平衡,在處,作用在圓柱上的力與法向交角不能是,而應該變小,直到平衡時,點處桿的受力方向與豎直線方向達,才使桿達到新的平衡。

下面求滿足的方程.

.

由于，

最后來求.

由圖丙可知，

所以,，

所以， ，

即.

本題是一道多點摩擦、臨界分析、幾何約束交織在一起的難題。

由于平衡問題的研究是學習物理的開端,很多人錯誤地認為平衡問題是物理中的簡單問題,其實不然,以競賽試題為例,一旦出現平衡問題,不論是復賽還是決賽,往往就是當年的難題,究其原因,平衡問題往往涉及多個對象,復雜的結構模型,多接觸點的受力分析,隱晦的臨界狀態,不確定的可能狀態,繁雜的幾何關系,大量的運算等等,且不說上述各種情況同時出現,哪怕只有兩三種出現在同一道試題中(如本題),答題者如不具備扎實的基礎,熟練地運用知識的能力,過硬的心理素質,較強的定力,要想順利完成解答,則無異于異想天開。