Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現有兩點M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．

（1）點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？
（2）點M、N運動幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？
（3）當點M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運動的時間．

Answer 1

【答案】
（1）解：設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，

x×1+12=2x，

解得：x=12

（2）解：設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，

∵三角形△AMN是等邊三角形，

∴t=12﹣2t，

解得t=4，

∴點M、N運動4秒后，可得到等邊三角形△AMN

（3）解：當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，

如圖②，假設△AMN是等腰三角形，

∴AN=AM，

∴∠AMN=∠ANM，

∴∠AMC=∠ANB，

∵AB=BC=AC，

∴△ACB是等邊三角形，

∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵ ，

∴△ACM≌△ABN，

∴CM=BN，

設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，

∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，

y﹣12=36﹣2y，

解得：y=16．故假設成立．

∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運動的時間為16秒．

【解析】（1）首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多12cm，列出方程求解即可；（2）根據題意設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數的值．