Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm．∠B＝30°．點P在BC上由點B向點C出發，速度為每秒2cm；點Q在邊AD上，同時由點D向點A運動，速度為每秒1cm，當點P運動到點C時，P、Q同時停止運動．連接PQ，設運動時間為t秒．

（1）當t為何值時四邊形ABPQ為平行四邊形？

（2）設四邊形ABPQ的面積為y，求y與t之間的函數關系式．

（3）當t為何值時，四邊形ABPQ的面積是四邊形ABCD的面積的四分之三，并求出此時∠PQD的度數．

（4）連結AP，是否存在某一時刻t，使△ABP為等腰三角形？并求出此刻t的值．

Answer 1

【答案】（1）t＝4s時，四邊形ABPQ是平行四邊形；（2）y＝t+18（0＜t≤6）；（3）∠DQP＝75°；（4）當t＝3或或3時，△ABP為等腰三角形．

【解析】

(1)利用平行四邊形的對邊相等AQ=BP建立方程求解即可；
(2)先構造直角三角形，求出AE，再用梯形的面積公式即可得出結論；
(3)利用面積關系求出t，即可求出DQ，進而判斷出DQ=PQ，即可得出結論；
(4)分三種情況，利用等腰三角形的性質，兩腰相等建立方程求解即可得出結論．

解：（1）由運動知，AQ＝12﹣t，BP＝2t，

∵四邊形ABPQ為平行四邊形，

∴AQ＝BP，

∴12﹣t＝2t

∴t＝4，

即：t＝4s時，四邊形ABPQ是平行四邊形；

（2）如圖1，

過點A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝6，

∴AE＝3，

由運動知，BP＝2t，DQ＝t，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝12，

∴AQ＝12﹣t，

∴y＝S四邊形ABPQ＝（BP+AQ）AE＝（2t+12﹣t）×3＝t+18（0＜t≤6）

（3）由（2）知，AE＝3，

∵BC＝12，

∴S四邊形ABCD＝12×3＝36，

由（2）知，y＝S四邊形ABPQ＝t+18（0＜t≤6），

∵四邊形ABPQ的面積是四邊形ABCD的面積的四分之三

∴t+18＝×36，

∴t＝6；

如圖3，

當t＝6時，點P和點C重合，DQ＝6，

∵CD＝AB＝6，

∴DP＝DQ，

∴∠DQC＝∠DPQ，

∴∠D＝∠B＝30°，

∴∠DQP＝75°；

（4）①當AB＝BP時，BP＝6，

即2t＝6，t＝3；

②當AP＝BP時，如圖2，

∵∠B＝30°，

過P作PM垂直于AB，垂足為點M，

∴BM＝3，BP＝2，

∴2t＝2，

∴t＝

③當AB＝AP時，同（2）的方法得，BP＝6，

∴2t＝6，

∴t＝3

所以，當t＝3或或3時，△ABP為等腰三角形．