Question

【題目】已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

過點C作CF⊥AD交AD的延長線于F，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得CE＝CF，根據同角的補角相等求出∠CDF＝∠B，然后利用“角角邊”證明△CDF和△CBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF＝BE，再利用“HL”證明Rt△ACF和Rt△ACE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE＝AF，然后根據AF＝AD＋DF等量代換即可得證．

證明：如圖，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，

∴CE＝CF，

∵∠B＋∠ADC＝180°．

∠ADC＋∠CDF＝180°（平角定義），

∴∠CDF＝∠B，

在△CDF和△CBE中，

，

∴△CDF≌△CBE（AAS），

∴DF＝BE，

在Rt△ACF和Rt△ACE中，

，

∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），

∴AE＝AF，

∵AF＝AD＋DF，

∴AE＝AD＋BE．